A. Pengertian
Himpunan
Konsep himpunan
mendasari hampir semua cabang matematika. GerorgCantor dianggap
sebagai Bapak teori himpunan. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang
yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan
anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan. Istilah
didefinisikan dengan jelas dimaksukkan agar orang dapat menentukan apakah suatu
benda merupakan anggota himpunan yang dimaksud tadi atau tidak.
Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok
mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas
meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju
sawah, sederetan mobil yang antri karena macet dan sebagainya, semuanya
merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.
Jika
kita amati semua objek yang berada disekeliling kita yang dijadikan contoh di
atas, dapat didefinisikan dengan jelas dan dapat dibedakan mana anggota
himpunan tersebut dan mana yang bukan.Himpunan makanan yang lezat, himpunan
gadis yang cantik dan himpunan bunga yang indah adalah contoh himpunan yang
tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan
indahnya bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi
seseorang atau sekelompok orang belum tentu lezat bagi orang lain
atau sekelompok orang lainya.
Demikian
juga indahnya sekuntum bunga bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain.
Bagi A yang indah adalah mawar merah bagi B yang indah adalah melati. Jadi
relatif bagi setiap orang. Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan
disebut anggota atau elemen atau unsur himpunan tersebut. Umumnya penulisan
himpunan menggunakan huruf kapital A, B, C dan seterusnya, dan anggota himpunan
ditulis dengan huruf kecil
B. Jenis-Jenis Himpunan
B. Jenis-Jenis Himpunan
1.Himpunan Bagian (Subset).
\Himpunan A dikatakan
himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis A ⊂ B ”,
jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.
Syarat :
A ⊂ B, dibaca : A himpunan
bagian dari B
A ⊂ B,
dibaca : A bukan himpunan bagian dari B
B ⊂ A
dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
B ⊂ A
dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
Contoh :
Misal A = { 1,2,3,4,5 } dan
B = { 2,4} maka B ⊂ A
Sebab setiap elemen
dalam B merupakan elemen dalam A,
tetapi tidak sebaliknya.
Penjelasan : Dari definisi diatas
himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A juga merupakan unsur
himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.
2. Himpunan Kosong (Nullset)
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.
Syarat :
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.
Syarat :
Himpunan kosong = A atau { } Himpunan kosong
adalah tunggal
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap
himpunan
Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan
dengan { 0 }.
Sebab
: { 0 } ≠ { }
Penjelasan
: dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan
yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan
dengan huruf yunani ø (phi).
3. Himpunan Semesta
Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau
“S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang
dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan.
4. Himpunan Sama (Equal)
Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota
himpunan B, begitu pula sebaliknya.dinotasikan dengan A=B
Syarat
: Dua buah himpunan anggotanya harus sama.
Contoh
:
A ={ c,d,e} B={ c,d,e } Maka A = B
Penjelasan : Himpunan equal atau
himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan
A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.
5. Himpunan Lepas
Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang
anggota-anggotanya tidak ada yang sama.
Contoh
C = {1, 3, 5, 7} dan D = {2, 4, 6} Maka himpunan
C dan himpunan D saling lepas.
Catatan : Dua himpunan
yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak
mempunyai satu pun anggota yang sama
6Himpunan
Komplemen (Complement set)
Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi AC .
Himpunan komplemen jika di misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A
= {3,4,5} maka A ⊂ U.
Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}. Dengan
notasi pembentuk himpunan ditulis :
AC = {x│x Є U,
x Є A}
7. Himpunan Ekuivalen (Equal Set)
Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya
sama banyak dengan himpunan lain.
Syarat : Bilangan cardinal
dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika
himpunan A ekivalen dengan himpunan B,
Contoh
:
A=
{ w,x,y,z }→n (A) = 4
B=
{ r,s,t,u } →n
(B) = 4
Maka
n (A) =n (B) →A≈B
Penjelasan : himpunan ekivalen
mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A
beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.
C. Cara
Penulisan Himpunan
Ada
empat cara untuk menyatakan suatu himpunan
1. Dengan
menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda
kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.
Cara ini disebut juga cara Tabulasi.
Contoh: A =
{a, i, u, e, o}
A=
{Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}
2. menyebutkan
syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi.
Contoh: ambil
bilangan asli kurang dari 5
A= bilangan asli
kurang dari 5
3. Notasi Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggotanya.
3. Notasi Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggotanya.
Contoh Soal :
Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan
tiap-tiap anggotanya dan sifat-sifatnya himpunan berikut ini :
Aadalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6
Penyelesaian
:
Aadalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6
Dengan
menulis tiap-tiap anggotanya A = {2, 3, 4, 5}
Dengan
menulis sifat-sifatnya A = {x | 1 < x < Asli}Î6, x
4. Himpunan
juga dapat di sajikan secara grafis (Diagram Venn)
Penyajian himpunan dengan diagram Venn ditemukan oleh
seorang ahli matematika Inggris bernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta
digambarkan dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam
segiempat tersebut.
D. Operasi
Pada Himpunan
1. Gabungan
Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah
himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan
B. Dinotasikan A B Notasi : A B = {x | x Є A atau
x Є B}
2. Irisan
Irisan (intersection) dari himpunan A dan B
adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A
dan anggota himpunan B.
Notasi : A B = {x | x
Є A dan x Є B}
3. Komplemen
Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S
adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A.
Dinotasikan Ac
Notasi : Ac =
{x | x Є S dan x Є A} atau
4. Selisih
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang
anggotanya merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih
himpunan A dan B adalah komplemen himpunan B terhadap himpunan A. Dinotasikan
A-B
Notasi : A – B = {x | x Є A dan x
Є B}
5. Hasil Kali Kartesius ( cartesion
Product )
Hasil kali kartesius himpunan A dan B, dinotasikan A x
B, adalah himpunan yang anggotanya semua pasangan terurut (a,b) dimana a
anggota A dan b anggota B
Secara matematis dituliskan : A x B = {(a,b)| a Є A
dan b Є B}
E. Hukum
Aljabar Himpunan
Hukum-hukum pada
himpunan dinamakan Hukum –hukum aljabar himpunan. cukup banyak hukum yang
terdapat pada aljabar himpunan , tetapi disini hanya dijabarkan 11 saja.
Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil
seperti a (b+c) = ab + ac , yaitu hukum distributif.
1.
Hukum identitas:
A = A
A U
= A
|
2. Hukum null/dominasi:
A =
A U
= U
|
3. Hukum komplemen:
A =
U
A =
|
4. Hukum idempoten:
A A = A
A A = A
|
5. Hukum involusi:
= A
|
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
A (A B)
= A
A (A B)
= A
|
7. Hukum komutatif:
A B = B A
A B = B A
|
8. Hukum asosiatif:
A (B C)
= (A B) C
A (B C)
= (A B) C
|
9.
Hukum distributif:
A (B C)
= (A B) (A C)
A (B C)
= (A B) (A C)
|
10. Hukum De Morgan:
=
=
|
11.
Hukum 0/1
= U
= Æ
|
Terlihat bahwa hukum-
hukum yang berlaku pada himpunan merupakan analogi hukum –hukum logika , dengan
operator menggantikan L (dan)
, sedangkan operator menggantikan V ( atau ).
2. Prinsip inklusi dan eksklusi
Beberapa
banyak anggota di dalam gabungan dua himpunan A dan B. penggabungan dua buah
himpunan menghasilkan himpunan baru yang elemen-elemennya berasal dari himpunan
A dan himpunan B. himpunan A dan himpunan B mungkin saja memiliki elemen yang
sama. Banyaknya elemen bersama antara A dan B adalah |A | . setiap
unsure yang sama itu telah dihitung dua kali , sekali pada |A| dan sekali pada
|B|, meskipun ia seharusnya dianggap sebagai satu buah elemen di dalam |A
| . karena itu , jumlah elemen hasil penggabungan seharusnya adalah
jumlah elemen di masing-masing himpunan dikurangi jumlah elemen di dalam
irisannya, atau |A| + B | -|A
|
Prinsip
ini dikenal dengan nama prinsip inklusi –eksklusi . sejumlah lemma dan teorema
yang berkaitan dengan prinsip ini dituliskan sebagai berikut:
A. Lemma 2.1. misalkan A dan B adalah himpunan berhingga yang saling lepas (disjoint) , maka |A| + B |
A. Lemma 2.1. misalkan A dan B adalah himpunan berhingga yang saling lepas (disjoint) , maka |A| + B |
B. Teorema
2.3 misalkan A dan B adalah himpunan berhingga maka berhingga dan|A|
+ B | - |A
|
C. Dengan
cara yang sama , kita dapat menghitung jumlah elemen hasil operasi beda
setangkup |A| + B | - 2
|A |.
Contoh :
Berapa banyaknya
bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5
Penyelelsaian :
Misalkan : A =
himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3
B= himpunan bilangan
bulat yang habis dibagi 5
A. himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK dari 3 dan 5 yaitu 15 ).
B. Yang ditanyakan adalah
A. himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK dari 3 dan 5 yaitu 15 ).
B. Yang ditanyakan adalah
Terlebih dahulu kita harus menghitung
|A|
= [100/3] = 33 | B | =
[100/5]= 20 |A | = [100/15] =
6
Untuk mendapatkan |A|
+ B | - |A | = 33
+ 20 – 6 = 47
Jadi ada 47 buah
bilangan yang habis dibagi 3 atau 5 .
Prinsip
inklusi- eksklusi dapat dirampatkan untuk operasi lebih dari dua buah himpunan.
untuk tiga buah himpunan A, B, dan C berlaku teorema berikut:
Teorema 2.4 Misalkan
A , B , dan C adalah himpunan yang berhingga maka berhingga dan
Sedangkan untuk
empat buah himpunan maka
|A ∪ B ∪ C ∪ D| = |A| + |B|
+ |C| + |D| – |A ∩ B| – |A ∩ C|
– |A ∩ D| – |B ∩C|
– |B ∩ D| – |C ∩ D|
+ |A ∩ B ∩ C|
+ |A ∩ B ∩ D|
+ |A ∩ C ∩ D|
+ |B ∩ C∩ D
|– |A ∩ B ∩ C ∩ D|
Contoh :
Sebanyak 1232 orang
mahasiswa mengambil kuliah bahasa inggris , 879 orang mengambil kuliah bahasa
perancis , dan 114 mengambil kuliah bahasa jerman. Sebanyak 103 orang mengambil
kuliah bahasa inggris dan perancis, 23 orang mengambil kuliah bahasa inggris
dan jerman , dan 14 orang mengambil kuliah bahasa perancis dan bahasa jerman.
Jika 2092 orang mengambil paling sedikit satu buah kuliah bahsa inggris, bahasa
jerman ., dan perancis, berapa banyak mahasiswa yang mengambil kuliah ketiga
buah bahasa tersebut?
Penyelesaian
:
Misalkan :
I
= himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa
inggris.
P =himpunan
mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa perancis.
J
= himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa jerman.
Maka ,
|I | =
1232 |P | = 879 |J| =
114 | I P | =
103
| I J |
= 23 | P J | =
14 dan |I ∪ P ∪ J|
= 2092
Penyulihan nilai-
nilai diatas pada persamaan
|I ∪ P ∪ J|
= |I | + |P | + |J| - | I P |
- | I J | - | P J |
+ |I P J|
2092
= 1232 + 879 + 114 - 103 - 23 -14 + |I P J|
Sehingga |I P J|
= 7
Jadi ada 7
orang mahasiswa yang mengambil ketiga buah kuliah bahasa inggris , perancis dan
jerman
2. Pembuktian Proporsi Himpunan
Proposisi himpunan
adalah pernyataan yang menggunakan notasi himpunan. Pernyataan dapat berupa
kesamaan (set identity), misalnya A (B C) =
(A B) (A C) adalah kesamaan
himpunan atau dapat berupa implikasi seperti “ jika A B = dan
(B C), maka selalu berlaku bahwa A Terdapat
beberapa metode untuk membuktikan kebenaran proposisi himpunan. Untuk suatu
proposisi himpunan . untuk suatu proposisi himpunan kita dapat membuktikannya
dengan beberapa metode yang menghasilkan kesimpulan yang sama. Di bawah ini
dikemukakan beberapa metode pembuktian proposisi perihal himpunan.
A. Dengan diagram venn
Buatlah diagram venn untuk bagian ruas kiri kesamaan
dan diagram venn untuk ruas kanan kesamaan. Jika diagram venn keduanya sama
beraarti kesamaan tersebut benar. Kelebihan metode ini yaitu pembuktian dapat dilakukan
dengan cepat sedangkan kekurangannya hanya dapat digunakan jika himpunan yang
digambarkan tidak banyak jumlahnya. Metode ini lebih mengilustrasikan
dibandingkan membuktikan fakta. Dan banyak matematikawan tidak menganggap
sebagai pembuktian valid untuk pembuktian secara formal. Oleh karena itu
pembuktian dengan diagram venn kurang dapat diterima.
B. Pembuktian dengan tabel
keanggotaan
Kesamaan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunakan
tabel keanggotaan. Kita menggunakan angka 1 untuk menyatakan bahwa suatu elemen
adalah anggota himpunan , dan 0 untuk menyatakan bukan himpunan. (nilai ini
dapat dianalogikan dengan true dan false).
A
|
B
|
C
|
BC
|
A
(BC)
|
AB
|
AC
|
(AB) (AC)
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Contoh : Misalkan A, B, dan C adalah himpunan.
buktikan bahwa A (B C) = (A B)
(A C) tabel keanggotaan untuk kesamaan tersebut adalah
seperti dibawah ini. Karena kolom A (B C) dan
kolom (A B) (A C) sama maka kesamaan
tersebut benar.
C. Pembuktian dengan aljabar
himpunan
Aljabar himpunan
mengacu pada hukum- hukum aljabar himpunan, termasuk di dalamnya
teorema-teorema ( yang ada buktinya ), definisi suatu operasi himpunan dan
penerapan prinsip dualitas.
Contoh :
Misalkan A dan B himpunan . buktikan bahwa
A (B - A)
= A Penyelesaian :
A (B - A)
= A (B Ac) definisi
operasi selisih
=
(A B) (A Ac) hukum
distributif
= (A B)
hukum
komplemen
=
A B hukum
identitas
D. Pembuktian dengan menggunakan
definisi
Metode ini
digunakan untuk membuktikan proposisi himpunan yang tidak berbentuk kesamaan ,
tetapi proposisi yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut
terdapat notasi himpunan bagian ( ).
Langkah-langkah untuk membuktikan bahwa X
Y adalah sebagai berikut:
· Ambil
sembarang x X
· Dengan
langkah-langkah yang benar tunjukkan bahwa x Y
Oleh karena itu x diambil sembarang dalam X , maka
berarti bahwa setiap anggota X merupakan anggota Y atau X
Y. Pembuktian yang melibatkan kesamaan himpunan (X = Y) haruslah melalui
2 arah sesuai dengan definisinya , yaitu X Y dan
Y X.
E. Pembuktian dengan menggunakan
sifat keanggotaan.
Contoh :
Bagaimana membuktikan A∪(B∩C)
= (A∪B)∩(A∪C)?
x ∈A ∪ (B ∩ C)
⇔x ∈ A ∨ x ∈ (B ∩ C)
⇔x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)
⇔(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)
(hukum distributif untuk logika matematika)
⇔x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ (A ∪ C)
⇔x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
F. Argument dan diagram venn
Banyak statemen
verbal dapat dialihkan menjadi statemen himpunan. Statemen ini dapat
digambarkan dengan diagram Venn. Oleh karena itu, diagram Venn acap kali
digunakan untuk menganalisa validitasnya suatu argumen.
Contoh :
Pandang asumsi SI, S2, S3 berikut :
S1 : Guru
adalah orang yang tenteram hidupnya
S2 : Setiap
raja merupakan orang kaya
S3 : Tidak ada
orang kaya yang juga tenteram hidupnya
Kita hendak
menggambarkan asumsi di atas dalam diagram Venn.
Himpunan guru termuat
dalam himpunan orang yang tentram hidupnya (asumsi SI). Himpunan orang tenteram
hidupnya akan saling lepas dengan himpunan orang kaya (asumsi S3). Himpunan
raja termuat seluruhnya di dalam himpunan orang kaya (asumsi S2).
F. Manfaat Mempelajari Hmpunan dalam Kehidupan Sehai Hari
F. Manfaat Mempelajari Hmpunan dalam Kehidupan Sehai Hari
Dengan mempelajari
himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan akan memacu kita
agar kita mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika memiliki
peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika
antara lain:
1.Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.
1.Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.
2. Meningkatkan
kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
3.Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.
. 4.Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.
5. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan.
3.Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.
. 4.Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.
5. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan.
6. Mampu
melakukan analisis terhadap suatu kejadian.
G. Contoh
Penerapan Soal Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Hari
Berikut ini merupakan beberapa contoh kasus teori
himpuanan dalam kehiupan sehari-hari.
Soal:
1. Dalam
sebuah kelas terdapat 40 orang siswa, 24 orang gemar musik 30 orang gemar olah
raga dan 16 orang gemar keduanya. Tentukan banyaknya siswa yang gemar musik
saja dan yang gemar olahraga saja?
2. Dari survey 100 orang warga terdapat 60 orang gemar membaca 50 orang gemar menulis, 45 orang gemar melukis, 40 orang gemar melukis dan menulis, 35 orang gemar membaca dan melukis, 30 orang gemar ketiganya. Tentukan :
2. Dari survey 100 orang warga terdapat 60 orang gemar membaca 50 orang gemar menulis, 45 orang gemar melukis, 40 orang gemar melukis dan menulis, 35 orang gemar membaca dan melukis, 30 orang gemar ketiganya. Tentukan :
a. Orang yang gemar melukis dan menulis
saja
b. Orang yang gemar membaca dan melukis saja
c. Orang yang gemar membaca saja
d. Orang yang gemar menulis saja
e. Orang yang gemar melukis saja
f. Orang yang tidak suka ketiganya
penyelesaian:
1. Perhatikan
dalam soal tersebut terdapat dua himpunan siswa yaitu siswa yang
gemar musik dan siswa yang gemar olahraga. Siswa yang gemar keduanya sebanyak 16
orang. Dalam konsep himpunan, anggota yang gemar keduanya merupan anggota irisansehingga
dapat dicari siswa yang gemar musik saja dan siswa yang gemar olahraga saja.
karena irisan siswa yang gemar keduanya sebanyak
16 orang sehingga siswa yang hanya gemar Musik dan olah raga saja yaitu :
musik = 24 – 16 = 8
olahraga = 30 – 16 = 14
dengan demikian himpunan semestanya :
s= 8 + 14 +16 = 40 siswa.
2. Dari
soal nomor 2, terdapat tiga himpunan yang berbeda yaitu yang gemar membaca,
menulis dan melukis. Untuk menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu
kita cari irisan ketiganya. Sehingga dapat disimpulkan :
misal : B = Membaca, N = Menulis, L = Melukis
a. Orang
yang gemar melukis dan menulis saja: 40 – 30 = 10 orang
b. Orang
yang gemar membaca dan menulis saja: 35 – 30 = 5 orang
c. Orang
gemar membaca saja: 60 – 30 – 5 = 25 orang
d. Orang
yang gemar menulis saja: 50 – 30 – 10 = 10 orang
e. Orang
yang gemar melukis saja: 45 – 45 = 0, maka orang yang gemar melukis saja
merupakan himpunan kosong
Kesimpulan
Ada
beberapa hal yang dapat disimpulkan dalam pembuatan makalah ini, diantaranya
adalah:
1. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau
lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana
yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan
2. Jenis-jenis terdiri dari himpunan bagian, himpunan
kosong, himpunan semesta, himpunan sama, himpunan lepas, himpunan komplement,
dan himpunan ekuivalent.
3. Himpunan dapat ditulis dengan menyebutkan semua
anggota, menyebutkan syarat-syarat anggota, notasi pembetuk himpunan, dan
secara grafik
4. Operasi pada himpudan terdiri dari gabungan, irisan,
komplement, selisih, dan hasil kali kartesius
5. Pembuktian proporsi himpunan dapat menggunakan diagram
venn, tabel keanggotaan, aljabar himpunan, dan definisi
6. Manfaat mempelajari himpunan adalah membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren, meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif, menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri, memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis, meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan, mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.
6. Manfaat mempelajari himpunan adalah membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren, meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif, menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri, memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis, meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan, mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.
B. Saran
Tanpa kita sadari
ternyata begitu banyak manfaat dari aplikasi matematika untuk kehidupan sehari-hari.
Baik dalam bidang ekonomi, pendidikan, dan dalam berbagai disiplin ilmu yang
lainya. Oleh karena itu penulis menyarankan agar kita lebih serius dalam
mempelajari matematika dan jangan dijadikan matematika sebagai sesuatu yang
menyeramkan untuk dipelajari karena matematika adalah bagian sangat dekat yang
tak terpisahkan dari kehidupan kita.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar