Integral Tak Tentu

 INTEGRAL TAK TENTU

Pengertian intergral tak tentu

integral tak tentu yaitu Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x).
Bentuk umum integral dari f(x) adalah:

∫ f(x) dx = F(x) + k

dimana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam rumusan diatas, tanda ∫ adalah tanda integral; f(x) dx adalah diferensial dari F(x); f(x) adalah integral partikular; k adalah konstanta pengintegralan; dan F(x) + k merupakan fungsi asli atau fungsi asal. Proses pengintegralan disebut juga integrasi.
Dalam diferensial kita menemukan bahwa jika misalnya suatu fungsi asal dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunan dilambangkan dengan f(x), maka

Untuk fungsi asal : F(x) = x2 + 5

Fungsi turunannya : f(x) = d F(x) = 2x
dx

Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(x) diintegralkan, maka

∫ f(x)dx = F(x) + k = x2 + k

karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol, maka dalam mengintegralkan setiap fungsi turuna konstanta k tetap dalam bentuk k. artinya nilai konstanta tersebut tidak dengan sendirinya bisa diisi dengan bilangan tertentu (misalnya 5, dalam contoh tadi), kecuali jika didalam soal memang sudan ditentukan nilai konstantanya. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan kebaliokan dari diferensial dinamakan integral tak tentu.



*Kaidah-kaidah Integrasi Tak Tentu
Karena integrasi tak tentu pada dasarnya merupakan kebalikan dari diferansiasi, maka kaidah-kaidah integasi tek tentu akan dapat dipahami berdasarkan pengetahuan tentang kaidah-kaidah diferansiasi.

1) Formula pangkat

∫ xn dx = xn+1 + k n ≠ -1
n + 1

contoh:
1) ∫ x4 dx = x4+1 + k = x5 + k
4 + 1 5

2) ∫ 4 dx = 4x0+1 = 4x + k
0 + 1


2) Formula logaritmis

∫ 1/x dx = ln x + k

contoh:
1) ∫ 3/x dx = 3 ln x + k

2) ∫ 3 = ∫ 3 d(x + 1) + k = 3 ln (x + 1) + k
x + 1 x + 1



3) Formula eksponensial

∫ ex dx = ex + k
∫ eu du = eu + k u = f(x)

contoh:
1) ∫ ex+2 dx = ∫ ex+2 d(x + 2) = ex+2 + k

2) ∫ e2x dx = ½ ∫ e2x d(2x) = ½ ∫e2x + k



4) Formula penjumlahan

∫ { f(x) + g(x) } dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
= F(x) + G(x) + k

contoh:
1) ∫ (x4 + 3x2) dx = ∫ x4 dx + ∫ 3x2 dx = 0,2 x5 + x3 + k

2) ∫ (ex + 1/x) dx = ∫ ex dx + ∫ 1/x dx = ex + ln x + k



5) Formula perkalian

∫ nf(x)dx = n ∫ f(x)dx n ≠ 0

contoh:
1) ∫ 3x2 dx = 3 ∫ x2 dx = 3 ( x2+1 + k ) = x3 + k
2+1

2) ∫ -x3 dx = -∫ x3 dx = - ( x3+1 + k ) = ¼ x4 ±
3+1


6) Formula substitusi

∫ f(u) du dx = ∫ f(u) du = F(u) + k
dx

dimana u = g(x), dan ∫ du merupakan substitut bagi ∫ dx

contoh:
1) Selesaikanlah ∫ 6x (3x2 – 10)dx
Penyelesaian:
Dengan cara substitusi, misalkan u = 3x2 - 10; maka du/dx = 6x, atau dx = du/6x. sehingga:
∫ 6x (3x2 – 10)dx = ∫ 6x u du/6x = ∫ u du = u2 /2 + k
= (3x2 – 10)2 + k
2
= ½ (9x4 – 60x2 + 100) + k
= 4,5 x 4 - 30x2 +50 + k
= 4,5 x 4 - 30x2 + k
dimana k + 50 + k